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据说很多公司都有这样一道面试题:给你几个 G 的字符串,让你想办法快速地找出其中的很多个需要和谐的敏感词。
这个问题里,如果“需要和谐的字符串”称为“模式串”,“待被查的字符串”称为文本串。对于这样的问题,如果暴力做,复杂度就是 $\Theta(N \ast M \ast Len)$……用 AC 自动机这种高级的算法,可以在 $\Theta (N)$ 左右复杂度内得出答案。Excited!

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今天遇到一个十分 Dark 的题目,让你求:

$$\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} lcm(i,j)$$

一共 $T$ 组数据,数据范围是:$T \leqslant 2 \ast 10^5, n \leqslant 3\ast 10^6$……

题目链接:LightOJ 1375 LCM Extreme

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之前学习了欧拉函数以及几个性质,知道了“欧拉函数 $\varphi(n)$ 是小于或等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的数目。”对于求解单个的 $\varphi(x)$ 很简单,直接枚举就可以了;但是如果要你在 $\Theta (N)$ 时间复杂度内求 $\varphi(i)$ 的值($i=1,2,\dots,n$),怎么求呢?自然是用欧拉筛了~

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在之前我们学过的最朴素的筛法就是埃氏筛法(埃拉托斯特尼筛法),它的复杂度是 $\Theta (N \log_2(N))$。其实这个朴素的筛法可以进行常数上的优化。还有一种更炫酷的筛法:欧拉筛,即线性筛法,时间复杂度为 $\Theta (N)$。

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在之前我们已经知道乘法逆元的三种求法,对于一般的题目让你把答案模一个质数,如果要求逆元一般用费马小定理,可以在 $\Theta (Nlog_2(N))$ 时间内构造出 1 到 N 的逆元:$inv(x)=x^{mo-2} \bmod mo$。但是对于 $10^7$ 级别的 $N$,这样的求法就显得有点慢。能不能在 $\Theta (N)$ 时间内递推出 $inv(x)$ 呢?

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先看这道丧心病狂的题目:HDU 4135 Co-prime。题目大意就是,有 $T$ 组询问,每组询问给你三个数:$a, b, c$,问你闭区间 $[a,b]$ 中有多少个数字与 $n$ 互质。数据范围是:$1 \leqslant A \leqslant B \leqslant 10^{15}$,$1 \leqslant N \leqslant 10^5$。

乍一看毫无头绪,仿佛怎么做都会超时……其实用容斥的想法就很容易了~

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如果告诉你在一个三角形中,$B-A \leqslant c, C-B \leqslant a, C-A \leqslant b$,怎么求 $C-A$ 的最大值呢?通过yy观察可以发现,$C-A$ 的最大值是 $min(a+c,b)$。这个答案如何得出?将这个三角形内的约束条件推广到更多约束条件呢?

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在一幅无向图中,如果删除了一个点,导致图分成了两个或多个联通块(强连通分量),那么这个点就是割点。怎么求这样的点呢?最原始暴力的方法就是每次枚举一个点,删除,跑一遍最短路。今天我们可以用更高级的 Tarjan 算法 $ \displaystyle \Theta (N)$ 求解。

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Kruscal 算法是求最小生成树的基础算法,很容易求得最小生成树,但是怎么利用这个算法求非严格次小生成树与严格次小生成树呢?

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皮一下,N 个求放入 M 个盒子,总问题数量是 $C_2^1 \ast C_2^1 \ast C_2^1=8$ 个~

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